Zakładając brak strat w tunerze i zakładając jednakowe straty na całej linii (co nie jest prawdą w praktyce, ale może być praktycznym uproszczeniem, więcej poniżej), straty linii zasilającej w decybelach wynoszą:
$$ -10 \ log \ left (L {1 - | \ Gamma | ^ 2 \ over 1-L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2} \ right) $$
Gdzie $ L $ to ułamek mocy przesyłanej przez linię zasilającą do dopasowanego obciążenia:
$$ L: = 10 ^ {- \ text {strata w decybelach} / 10} $$
i $ \ Gamma $ to współczynnik odbicia:
$$ | \ Gamma | : = {\ text {VSWR} -1 \ over \ text {VSWR} +1} $$
Wyprowadzenie
Przeprowadźmy przykład i spójrzmy jak to jest wyprowadzane.
Zacznij od obliczenia utraty linii zasilającej z arkusza danych i długości. Powiedzmy, że to 0,46 dB na 100 stóp i 100 stóp długości, więc tłumienie linii zasilającej wynosi 0,46 dB. Cofnijmy to i zróbmy stosunek:
$$ L: = 10 ^ {- 0,46 / 10} = 0,9 $$
Oznacza to, że 90% mocy jest przesyłane, a pozostałe 10% jest pochłaniane przez przewód zasilający.
Matematyka jest łatwiejsza, jeśli wyrażamy VSWR jako współczynnik odbicia $ \ Gamma $ . Jest to liczba zespolona, ale nie przejmujemy się fazą odbicia (a i tak nie możemy jej poznać tylko z VSWR), więc obliczymy tylko wielkość.
$$ | \ Gamma | : = {\ text {VSWR} -1 \ over \ text {VSWR} +1} $$
Załóżmy, że dla naszego przykładu VSWR wynosi 2,35: 1. To współczynnik odbicia 0,4. Jest to stosunek amplitudy lub napięcia, więc wyrównaj go, aby uzyskać moc: 16% mocy jest odbijane, a pozostałe 84% jest akceptowane przez antenę.
A powiedzmy, że moc wyjściowa wynosi 100 W. Ponadto zakładamy, że nadajnik zawiera tuner. Kiedy tuner jest ustawiony tak, że nadajnik widzi dopasowane obciążenie, efektywnie tuner wprowadza impedancję do linii, która anuluje odbitą falę, więc nadajnik nie widzi żadnej odbitej mocy. Ponieważ tuner (pomijając straty) nie ma elementów oporowych, które mogłyby pochłonąć jakąkolwiek moc i przekształcić ją w ciepło, musi to oznaczać, że cała odbita moc, która dociera do nadajnika, jest ponownie odbijana z powrotem w kierunku anteny. co dzieje się z tą mocą, gdy odbija się ona kilka razy w tę iz powrotem.
Zsumuj całą moc, która została zaakceptowana przez antenę (75,6 W + 9,8 W + 1,3 W + 0,16 W + ...), aby wyjaśnić, ile z tych 100 W zostało zaakceptowanych przez antenę, a reszta została utracona do linii zasilającej. Jak pokazano na schemacie, do anteny trafia łącznie 86,8W. Oznacza to, że straty wyniosły:
$$ 10 \ log \ left (86,8 \ over 100 \ right) = 0,61 \: \ mathrm {dB} $$ span>
Dzięki większej liczbie iteracji możemy uzyskać dokładniejszą odpowiedź, ale widać, że po kilku refleksjach potęgi stały się na tyle małe, że są pomijalne.
Utrata w decybelach jest obliczone ze stosunku mocy wejściowej do mocy wyjściowej, więc obliczmy ułamek mocy wejściowej, który jest akceptowany przez antenę.
Niezależnie od mocy padającej na antenę, $ | \ Gamma | ^ 2 $ jest odzwierciedlane, a $ 1- | \ Gamma | ^ 2 $ jest akceptowane. Jeśli chcemy obliczyć moc akceptowaną w konkretnym odbiciu, musimy tylko znaleźć moc incydentu i pomnożyć ją przez $ 1- | \ Gamma | ^ 2 $ .
Aby obliczyć moc incydentu, możemy policzyć liczbę podróży przez linię zasilającą, które miały miejsce do tej pory, oraz ile razy wystąpiło odbicie od anteny. Każda podróż przez linię zasilającą zmniejsza moc o współczynnik $ L $ , a każde odbicie od anteny o współczynnik $ | \ Gamma | ^ 2 $ .
Pierwsza refleksja to tylko jedna podróż przez linię zasilającą i zero wcześniejszych odbić.
$$ L ^ 1 \: (| \ Gamma | ^ 2) ^ 0 \: (1 - | \ Gamma | ^ 2) \\\ tag {zaakceptowano, pierwsza refleksja} $$
W drugiej refleksji to trzy przejazdy przez linię zasilającą i jedną wcześniejszą refleksję.
$$ L ^ 3 \: (| \ Gamma | ^ 2) ^ 1 \: (1 - | \ Gamma | ^ 2) \\\ tag {zaakceptowano, druga refleksja} $$
W trzeciej refleksji to pięć podróży przez linię zasilającą i dwie wcześniejsze refleksje.
$$ L ^ 5 \: (| \ Gamma | ^ 2) ^ 2 \: (1 - | \ Gamma | ^ 2) \\\ tag {zaakceptowano, trzecia refleksja} $$
Wyłania się wzór: siła akceptowana przy każdym odbiciu jest taka sama przy poprzedniej refleksji, pomnożona przez
$$ L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2 $$
Zsumowane to całkowita zaakceptowana moc:
$$ \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} L (1 - | \ Gamma | ^ 2) (L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2) ^ n $$
Jest to szereg geometryczny, który można uprościć do
$$ \ lim_ {n \ to \ infty} L (1 - | \ Gamma | ^ 2) {1- (L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2) ^ n \ ponad 1-L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2} $$ span >
Ponieważ $ L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2 $ jest mniejsze niż 1, $ (L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2) ^ n \ do 0 $ , więc równanie jest jeszcze bardziej uproszczone do:
$ $ L {1 - | \ Gamma | ^ 2 \ ponad 1-L ^ 2 \: | \ Gamma | ^ 2} $$
Ograniczenia
Wadą tego modelu jest to, że rzeczywiste linie przesyłowe nie mają jednolitych strat.
Straty w linii przesyłowej mogą być spowodowane stratami rezystancyjnymi lub stratami dielektrycznymi. Straty rezystancyjne są proporcjonalne do kwadratu prądu, podczas gdy straty dielektryczne są proporcjonalne do kwadratu napięcia.
Gdy linia jest zakończona niedopasowanym obciążeniem, fale stojące tworzą obszary wysokiego napięcia na przemian z obszarami wysokiego napięcia. obecny. Powyższe wyprowadzenie zakłada, że straty występują równomiernie w tych obszarach, ale w praktyce straty rezystancyjne są bardziej znaczące niż straty dielektryczne. Zatem regiony o wysokim prądzie mają większe straty niż regiony o wysokim napięciu.
Na przykład rozważmy krótką linię transmisyjną 50 omów, powiedzmy 1/10 długości fali. Linia ta może być zakończona przy 5 omach lub 500 omach, aw każdym przypadku wystąpi SWR 10: 1, a powyższa metoda przewidywałaby taką samą stratę w każdym przypadku. Ale w rzeczywistości ta linia jest tak krótka, że prąd i napięcie w dowolnym miejscu na jej długości są mniej więcej jednolite.
W przypadku zakończenia 5 omów prąd będzie wysoki, a rzeczywiste straty będzie więcej niż przewiduje równanie. Z zakończeniem 500 omów prąd będzie niski, a rzeczywiste straty będą mniejsze, być może nawet mniejsze niż dopasowana strata linii. Im wyższy SWR, tym większe odchylenie od równania.
Jeśli linia ma długość elektryczną wielokrotności połowy długości fali, będzie taka sama liczba węzłów wysokiego napięcia i prądu. Efekty znikają, a rzeczywiste straty są dokładnie takie, jak przewiduje równanie.
Również jeśli linia ma dużą liczbę długości fal, będzie duża liczba węzłów, a więc jedno bardzo wysokie lub wysokie napięcie obecny węzeł nie robi ogólnie dużej różnicy.
Praktyczna konsekwencja jest taka, że wyprowadzone tutaj równanie jest dokładne, ale nie zawsze dokładne. W przypadku nierezonansowej anteny wielopasmowej, w której długość elektryczna i impedancja obciążenia są faktycznie przypadkowe lub nieznane, równanie to zapewnia dokładne oszacowanie. Jeśli znana jest impedancja obciążenia i długość elektryczna, a zwłaszcza jeśli długość elektryczna jest mniejsza niż kilka długości fal, warto zastosować bardziej precyzyjne metody.